PARADOJAS

Aquiles y la tortuga Aquiles y una tortuga juegan una carrera. La distancia a recorrer es de 200 metros. Como Aquiles corre 10 veces m�s r�pido que la tortuga, arreglan que le dar� 100 metros de ventaja. Los dos se ponen en posici�n, y empieza la carrera. Aquiles empieza a correr, y avanza los 100 metros que le dio de ventaja a la tortuga. Pero en ese tiempo, la tortuga ya avanz� 10 metros, de modo que todav�a lo aventaja. Cuando Aquiles recorre esos 10 metros, la tortuga ya avanzo 1 metro m�s. Aquiles sigue corriendo y avanza ese metro, pero la tortuga en el mismo tiempo ya ha avanzado 10 cent�metros. As� siguen corriendo, sin que Aquiles puede alcanzar nunca a la tortuga. Cierto o falso Sea la frase: "Esta frase es falsa.". Si la frase es falsa, es falso que "Esta frase es falsa.", es decir, la frase es verdadera. Si en cambio la frase es verdadera, es cierto que "Esta frase es falsa.", es decir, la frase es falsa. Dios existe Sea la frase: "Dios existe o esta frase es falsa.". La frase es una disyunci�n, formada por dos partes; la parte p1 es "Dios existe"; la parte p2 es "esta frase es falsa"; la frase completa es "p1 � p2", donde � simboliza la disyunci�n. La frase es cierta cuando p1 � p2 (o ambas) lo son; es falsa cuando p1 y p2 (ambas) lo son. Supongamos que la frase es falsa; en ese caso p1 y p2 deben ser falsas; pero p2 es "esta frase es falsa", que resultar�a cierta; por lo tanto, la frase no puede ser falsa. En consecuencia debe ser verdadera; en ese caso p1 � p2 deben ser verdaderas; pero p2 es "esta frase es falsa", que resulta una afirmaci�n falsa; al ser p2 falsa, siendo la frase completa verdadera, debe ser p1 cierta; es decir, Dios existe.